Rezultatul a fost deja primit!

Sisteme numerice

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de numere arabe, pe care îl folosim în viața de zi cu zi, este pozițional, dar sistemul de numere roman nu este. ÎN sisteme poziționaleÎn notație, poziția unui număr determină în mod unic dimensiunea numărului. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:

Apoi, numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Numărul 10 definește sistemul numeric (în în acest caz, acesta este 10). Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.

Luați în considerare realul număr zecimal 1287.923. Să-l numerotăm începând de la zero, poziționând numărul de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:

Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

ÎN caz general formula poate fi reprezentată după cum urmează:

C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.

Câteva cuvinte despre sistemele numerice Un număr în sistemul numeric zecimal este format din multe cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal este format din multe cifre. (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul de numere binar - dintr-un set de cifre (0,1), în sistem hexazecimal notație - dintr-un set de numere (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D, E, F corespund numerelor 10,11,12,13,14,15. Tabelul 1 prezintă numerele din sisteme diferite Socoteala.

Tabelul 1
Notaţie
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	O
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal și apoi, din sistem zecimal converti numerele în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal

Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.

Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:

Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din sistemul numeric hexazecimal în SS zecimal. Soluţie:

Aici O-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- pana la 15.

Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele din sistemul de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să convertiți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.

Partea întreagă a unui număr este convertită din SS zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - la 2, pentru SS 8-ary - la 8, pentru 16 -ary SS - cu 16 etc. ) până când se obține un reziduu întreg, mai mic decât baza CC.

Exemplu 4 . Să convertim numărul 159 din SS zecimal în SS binar:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

După cum se poate observa din fig. 1, numărul 159 când este împărțit la 2 dă câtul 79 și restul 1. În plus, numărul 79 când este împărțit la 2 dă câtul 39 și restul 1 etc. Ca rezultat, construind un număr din resturile de împărțire (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare putem scrie:

159 10 =10011111 2 .

Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Când convertiți un număr din SS zecimal în SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic decât 8. Ca rezultat, construind un număr din resturile de diviziune (de la dreapta la stânga) obținem un număr în SS octal: 1147 (vezi fig. 2). Prin urmare putem scrie:

615 10 =1147 8 .

Exemplu 6 . Să convertim numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

După cum se poate observa din figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, resturile sunt 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 - D. Prin urmare, numărul nostru număr hexazecimal- acesta este 4CD9.

Pentru a converti fracțiile zecimale adecvate ( număr real cu o parte întreagă zero) într-un sistem numeric cu baza s este necesar număr datînmulțim succesiv cu s până când partea fracțională este zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă diferită de zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat).

Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple.

Exemplu 7 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

După cum se poate vedea din Fig. 4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă zero, atunci în stânga acestuia se scrie un zero. Procesul de înmulțire continuă până când partea fracțională ajunge la zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos obținem numărul necesar în sistemul numeric binar: 0. 0011011 .

Prin urmare putem scrie:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exemplu 8 . Să convertim numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă, rezultatul este 0. În consecință, se obține următorul rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Exemplu 9 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele 12 și 11 corespund numerelor C și B. Prin urmare, avem:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Exemplu 10 . Să convertim numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Primit:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exemplu 11 . Să convertim numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exemplu 12 . Să convertim numărul 19673,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). În plus, combinând aceste rezultate, obținem.

Cei care susțin examenul de stat unificat și multe altele...

Este ciudat că în lecțiile de informatică din școli, de obicei, le arată elevilor cel mai complex și incomod mod de a converti numerele dintr-un sistem în altul. Această metodă constă în împărțirea succesivă a numărului inițial la bază și colectarea resturilor din împărțirea în ordine inversă.

De exemplu, trebuie să convertiți numărul 810 10 în binar:

Scriem rezultatul în ordine inversă de jos în sus. Se dovedește că 81010 = 11001010102

Dacă trebuie să convertiți la sistemul binar, destul numere mari, apoi scara de diviziune capătă dimensiunea unei clădiri cu mai multe etaje. Și cum poți aduna toate cele și zerourile și să nu ratezi niciunul?

Programul Unified State Exam în informatică include mai multe sarcini legate de conversia numerelor dintr-un sistem în altul. De obicei, aceasta este o conversie între sistemele octal și hexazecimal și binar. Acestea sunt secțiunile A1, B11. Dar există și probleme cu alte sisteme numerice, cum ar fi în secțiunea B7.

Pentru început, să ne amintim două tabele pe care ar fi bine să le cunoaștem pe de rost pentru cei care aleg informatica ca profesie viitoare.

Tabelul puterilor numărului 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Se obține cu ușurință prin înmulțirea numărului anterior cu 2. Așadar, dacă nu vă amintiți toate aceste numere, nu este greu să obțineți restul în minte din cele pe care le amintiți.

Masă numere binare de la 0 la 15 cu reprezentare hexazecimală:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	O	B	C	D	E	F

Valorile lipsă sunt, de asemenea, ușor de calculat adăugând 1 la valorile cunoscute.

Conversie intreg

Deci, să începem prin a converti direct în sistemul binar. Să luăm același număr 810 10. Trebuie să descompunăm acest număr în termeni egali cu puterile a doi.

1. Căutăm puterea celor două cele mai apropiate de 810 și să nu o depășească. Acesta este 2 9 = 512.
2. Scădeți 512 din 810, obținem 298.
3. Repetați pașii 1 și 2 până când nu mai sunt 1 sau 0.
4. Am prins așa: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

Apoi există două metode, puteți utiliza oricare dintre ele. Cât de ușor este să vezi că în orice sistem numeric baza sa este întotdeauna 10. Pătratul bazei va fi întotdeauna 100, cubul 1000. Adică, gradul bazei sistemului numeric este 1 (unul) și sunt tot atâtea zerouri în spate câte este gradul.

Metoda 1: Aranjați 1 în funcție de rangurile indicatorilor termenilor. În exemplul nostru, acestea sunt 9, 8, 5, 3 și 1. Locurile rămase vor conține zerouri. Deci, am obținut reprezentarea binară a numărului 810 10 = 1100101010 2. Unitățile sunt plasate pe locurile 9, 8, 5, 3 și 1, numărând de la dreapta la stânga de la zero.

Metoda 2: Să scriem termenii ca puteri a doi unul sub celălalt, începând cu cel mai mare.

810 =

Acum să adăugăm acești pași împreună, cum ar fi plierea unui evantai: 1100101010.

Asta este. Pe parcurs, problema „câte unități în notație binară numarul 810?

Răspunsul este atâția termeni (puteri a doi) în această reprezentare. 810 are 5 dintre ele.

Acum exemplul este mai simplu.

Să transformăm numărul 63 în sistemul numeric 5-ari. Cea mai apropiată putere de la 5 la 63 este 25 (pătratul 5). Un cub (125) va fi deja mult. Adică 63 se află între pătratul lui 5 și cub. Apoi vom selecta coeficientul pentru 5 2. Acesta este 2.

Se obține 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

Și, în sfârșit, traduceri foarte ușoare între sistemele 8 și hexazecimale. Deoarece baza lor este o putere de doi, traducerea se face automat, pur și simplu prin înlocuirea numerelor cu reprezentarea lor binară. Pentru sistemul octal, fiecare cifră este înlocuită cu trei cifre binare, iar pentru sistemul hexazecimal, patru. În acest caz, sunt necesare toate zerourile înainte, cu excepția cifrei celei mai semnificative.

Să convertim numărul 547 8 în binar.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

Încă unul, de exemplu 7D6A 16.

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	O

Să convertim numărul 7368 în sistemul hexazecimal. Mai întâi, scrieți numerele în triplete, apoi împărțiți-le în cvadruple de la sfârșit: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Să convertim numărul C25 16 în sistemul octal. Mai întâi, scriem numerele în patru și apoi le împărțim în trei de la sfârșit: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Acum să ne uităm la conversia înapoi în zecimală. Nu este dificil, principalul lucru este să nu faci greșeli în calcule. Extindem numărul într-un polinom cu puteri ale bazei și coeficienți pentru ei. Apoi înmulțim și adăugăm totul. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Conversia numerelor negative

Aici trebuie să țineți cont de faptul că numărul va fi prezentat în cod suplimentar. Pentru a converti un număr în cod suplimentar, trebuie să știți dimensiunea finală a numărului, adică în ce dorim să-l încadram - într-un octet, în doi octeți, în patru. Cea mai semnificativă cifră a unui număr înseamnă semnul. Dacă există 0, atunci numărul este pozitiv, dacă 1, atunci este negativ. În stânga, numărul este completat cu o cifră semn. Nu considerăm numerele nesemnate, ele sunt întotdeauna pozitive, iar bitul cel mai semnificativ din ele este folosit ca informație.

Pentru traducere număr negativîn codul de complement al binar, trebuie să convertiți un număr pozitiv în binar, apoi să schimbați zerourile în unu și cele cu zerouri. Apoi adăugați 1 la rezultat.

Deci, să convertim numărul -79 în sistemul binar. Numărul va lua un octet.

Convertim 79 în sistemul binar, 79 = 1001111. Adăugăm zerouri în stânga la dimensiunea octetului, 8 biți, obținem 01001111. Schimbăm 1 la 0 și 0 la 1. Obținem 10110000. Adăugăm 1 la rezultat, obținem răspunsul 10110001. Pe parcurs, răspundem la întrebarea Examenului de stat unificat „în câte unități sunt reprezentare binară numere -79?” Raspunsul este 4.

Adăugarea lui 1 la inversul unui număr elimină diferența dintre reprezentările +0 = 00000000 și -0 = 11111111. În codul complement a doi vor fi scrise la fel ca 00000000.

Traducere numere fracționare

Numerele fracționale sunt convertite în modul invers al împărțirii numerelor întregi la bază, ceea ce ne-am uitat chiar de la început. Adică, folosind înmulțirea secvențială cu o nouă bază cu colecția de părți întregi. Părțile întregi obținute în timpul înmulțirii sunt colectate, dar nu participă la următoarele operații. Se înmulțesc doar fracțiile. Dacă numărul inițial este mai mare decât 1, atunci părțile întregi și fracționale sunt translatate separat și apoi lipite împreună.

Să transformăm numărul 0,6752 în sistemul binar.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

Procesul poate fi continuat pentru o lungă perioadă de timp până când obținem toate zerourile din partea fracțională sau se obține precizia necesară. Să ne oprim la al 6-lea semn deocamdată.

Se dovedește că 0,6752 = 0,101011.

Dacă numărul a fost 5,6752, atunci binar va fi 101.101011.

Calculatorul vă permite să convertiți numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Baza sistemului de numere nu poate fi mai mică de 2 și mai mare de 36 (10 cifre și 26 de litere latine până la urmă). Lungimea numerelor nu trebuie să depășească 30 de caractere. Pentru a introduce numere fracționale, utilizați simbolul. sau, . Pentru a converti un număr dintr-un sistem în altul, introduceți numărul inițial în primul câmp, baza sistemului de numere original în al doilea și baza sistemului numeric în care doriți să convertiți numărul în al treilea câmp, apoi faceți clic pe butonul „Obțineți înregistrare”.

Număr original scris în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3 6 -al-lea sistem de numere.

Vreau să scriu un număr 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -al-lea sistem de numere.

Obțineți intrarea

Traduceri finalizate: 1237177

Sisteme numerice

Sistemele numerice sunt împărțite în două tipuri: poziționalŞi nu pozițional. Folosim sistemul arab, este pozițional, dar există și sistemul roman - nu este pozițional. În sistemele poziționale, poziția unei cifre într-un număr determină în mod unic valoarea acelui număr. Acest lucru este ușor de înțeles luând în considerare un număr ca exemplu.

Exemplul 1. Să luăm numărul 5921 în sistemul numeric zecimal. Să numerotăm numărul de la dreapta la stânga începând de la zero:

Numărul 5921 se poate scrie sub următoarea formă: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Numărul 10 este o caracteristică care definește sistemul numeric. Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.

Exemplul 2. Luați în considerare numărul zecimal real 1234,567. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la punctul zecimal la stânga și la dreapta:

Numărul 1234.567 se poate scrie sub următoarea formă: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Cele mai multe într-un mod simplu convertirea unui număr dintr-un sistem numeric în altul înseamnă mai întâi convertirea numărului într-un sistem numeric zecimal, iar apoi rezultatul rezultat în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal

Pentru a converti un număr din orice sistem numeric în zecimal, este suficient să îi numerotați cifrele, începând cu zero (cifra din stânga punctului zecimal) în mod similar cu exemplele 1 sau 2. Să găsim suma produselor cifrelor a numărului de baza sistemului numeric la puterea poziției acestei cifre:

1. Convertiți numărul 1001101.1101 2 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Răspuns: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Convertiți numărul E8F.2D 16 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Răspuns: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele din sistemul numeric zecimal într-un alt sistem numeric, părțile întregi și fracționale ale numărului trebuie convertite separat.

Conversia unei părți întregi a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

O parte întreagă este convertită dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a unui număr la baza sistemului de numere până când se obține un rest întreg care este mai mic decât baza sistemului de numere. Rezultatul traducerii va fi o înregistrare a restului, începând cu ultima.

3. Convertiți numărul 273 10 în sistemul numeric octal.
Soluţie: 273 / 8 = 34 și restul 1. 34 / 8 = 4 și restul 2. 4 este mai mic decât 8, deci calculul este complet. Înregistrarea din solduri va arăta astfel: 421
Examinare: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, rezultatul este același. Aceasta înseamnă că traducerea a fost făcută corect.
Răspuns: 273 10 = 421 8

Luați în considerare traducerea fracțiilor zecimale adecvate în diverse sisteme Socoteala.

Conversia părții fracționale a unui număr din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Amintiți-vă că se numește o fracție zecimală adecvată număr real cu parte întreagă zero. Pentru a converti un astfel de număr într-un sistem numeric cu baza N, trebuie să înmulțiți succesiv numărul cu N până când partea fracțională este adusă la zero sau se obține numărul necesar de cifre. Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă nu este luată în considerare în continuare, deoarece este introdusă succesiv în rezultat.

4. Convertiți numărul 0,125 10 în sistemul numeric binar.
Soluţie: 0,125·2 = 0,25 (0 este partea întreagă, care va deveni prima cifră a rezultatului), 0,25·2 = 0,5 (0 este a doua cifră a rezultatului), 0,5·2 = 1,0 (1 este a treia cifră a rezultatului și, deoarece partea fracțională este zero, atunci translația este finalizată).
Răspuns: 0.125 10 = 0.001 2