Să ne uităm la unul dintre cele mai importante subiecte din informatică -. În programa școlară, se dezvăluie mai degrabă „modest”, cel mai probabil din cauza lipsei de ore alocate acestuia. Cunoștințe pe această temă, în special pe traducerea sistemelor numerice, sunt o condiție prealabilă pentru promovarea cu succes a Examenului de stat unificat și admiterea la universități din facultățile relevante. Mai jos discutăm în detaliu concepte precum sisteme de numere poziționale și nepoziționale, sunt date exemple ale acestor sisteme de numere, sunt prezentate reguli pentru conversia numerelor zecimale întregi, fracțiilor zecimale adecvate și numerelor zecimale mixte în orice alt sistem de numere, conversia numerelor din orice sistem de numere în zecimal, conversia din sistemele de numere octale și hexazecimale în binar sistem de numere. Există o mulțime de probleme pe această temă la examene. Capacitatea de a le rezolva este una dintre cerințele solicitanților. În curând: pentru fiecare subiect al secțiunii, pe lângă materialul teoretic detaliat, vor fi prezentate aproape toate opțiunile posibile sarcini pentru auto-studiu. În plus, veți avea posibilitatea de a descărca complet gratuit de la un serviciu de găzduire de fișiere soluții detaliate gata făcute la aceste probleme, ilustrând diverse modalități de a obține răspunsul corect.

sisteme de numere poziționale.

Sisteme numerice non-poziționale- sisteme de numere în care valoarea cantitativă a unei cifre nu depinde de localizarea acesteia în număr.

Sistemele numerice non-poziționale includ, de exemplu, romanul, unde în loc de numere există litere latine.

Aici litera V reprezintă 5, indiferent de locația sa. Cu toate acestea, merită menționat faptul că, deși sistemul numeric roman este un exemplu clasic de sistem de numere non-pozițional, acesta nu este complet non-pozițional, deoarece Din acesta se scade numărul mai mic din fața celui mai mare:

sisteme de numere poziționale.

Sisteme numerice poziționale- sisteme de numere în care valoarea cantitativă a unei cifre depinde de localizarea acesteia în număr.

De exemplu, dacă vorbim despre sistemul numeric zecimal, atunci în numărul 700 numărul 7 înseamnă „șapte sute”, dar același număr din numărul 71 înseamnă „șapte zeci”, iar în numărul 7020 - „șapte mii” .

Fiecare sistem de numere poziționale are propriile sale baza. Un număr natural mai mare sau egal cu doi este ales ca bază. Este egal cu numărul de cifre utilizate într-un anumit sistem numeric.

De exemplu:
• Binar- sistem de numere poziționale cu baza 2.
• Cuaternar- sistem de numere pozițional cu baza 4.
• De cinci ori- sistem de numere pozițional cu baza 5.
• Octal- sistem de numere pozițional cu baza 8.
• hexazecimal- sistem de numere pozițional cu baza 16.

Pentru a rezolva cu succes probleme la tema „Sisteme numerice”, elevul trebuie să cunoască pe de rost corespondența numerelor binare, zecimale, octale și hexazecimale până la 16 10:

Este util să știm cum se obțin numerele în aceste sisteme numerice. Puteți ghici că în octal, hexazecimal, ternar și altele sisteme de numere poziționale totul se întâmplă în același mod ca sistemul zecimal cu care suntem obișnuiți:

Se adaugă unul la număr și se obține un nou număr. Dacă locul unităților devine egal cu baza sistemului numeric, creștem numărul zecilor cu 1 etc.

Această „tranziție a unuia” este ceea ce îi sperie pe majoritatea studenților. De fapt, totul este destul de simplu. Tranziția are loc dacă cifra unităților devine egală cu baza numerelor, creștem numărul zecilor cu 1. Mulți, amintindu-și vechiul sistem zecimal bun, sunt instantaneu confuzi cu privire la cifrele din această tranziție, deoarece zecimale și, de exemplu, zecile binare sunt lucruri diferite.

Prin urmare, studenții cu resurse își dezvoltă „propriile metode” (în mod surprinzător... lucrând) atunci când completează, de exemplu, tabele de adevăr, primele coloane (valori variabile) ale cărora sunt, de fapt, umplute cu numere binare în ordine crescătoare.

De exemplu, să ne uităm la introducerea numerelor sistem octal: Adăugăm 1 la primul număr (0), obținem 1. Apoi adăugăm 1 la 1, obținem 2 etc. la 7. Dacă adunăm unu la 7, obținem un număr egal cu baza sistemului numeric, adică. 8. Apoi trebuie să măriți locul zecilor cu unul (obținem zece octal - 10). Urmează, evident, numerele 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Reguli pentru conversia de la un sistem numeric la altul.

1 Conversia numerelor zecimale întregi în orice alt sistem de numere.

Numărul trebuie împărțit la noua bază a sistemului de numere. Primul rest al diviziunii este prima cifră minoră a noului număr. Dacă câtul împărțirii este mai mic sau egal cu noua bază, atunci acesta (coeficientul) trebuie împărțit din nou la noua bază. Împărțirea trebuie continuată până când obținem un coeficient mai mic decât noua bază. Aceasta este cea mai mare cifră a noului număr (trebuie să vă amintiți că, de exemplu, în sistemul hexazecimal, după 9 există litere, adică dacă restul este 11, trebuie să îl scrieți ca B).

Exemplu („împărțire după colț”): Să transformăm numărul 173 10 în sistemul numeric octal.

Astfel, 173 10 =255 8

2 Conversia fracțiilor zecimale regulate în orice alt sistem numeric.

Numărul trebuie înmulțit cu noul sistem de numere de bază. Cifra care a devenit parte întreagă este cea mai mare cifră a părții fracționale a noului număr. pentru a obține următoarea cifră, partea fracțională a produsului rezultat trebuie din nou înmulțită cu o nouă bază a sistemului numeric până când are loc tranziția la întreaga parte. Continuăm înmulțirea până când partea fracțională devine zero sau până când ajungem la precizia specificată în problemă („... calculați cu o precizie de, de exemplu, două zecimale”).

Exemplu: Să transformăm numărul 0,65625 10 în sistemul de numere octale.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul este o parte importantă a aritmeticii mașinii. Să luăm în considerare regulile de bază ale traducerii.

1. Pentru a converti un număr binar într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a lui 2 și să îl calculați conform regulilor zecimale. aritmetică:

Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor a doi:

Tabelul 4. Puterile numărului 2

Exemplu.

2. Pentru a converti un număr octal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 8 și să îl calculați conform regulilor de aritmetică zecimală:

Când traduceți, este convenabil să folosiți tabelul puterilor opt:

Tabelul 5. Puterile numărului 8

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.

3. Pentru a converti un număr hexazecimal într-un număr zecimal, acesta trebuie să fie scris ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 16 și calculat conform regulilor aritmeticii zecimale:

Când traduceți, este convenabil de utilizat blitz-ul puterilor numărului 16:

Tabelul 6. Puterile numărului 16

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.

4. Pentru a converti un număr zecimal în sistem binar, acesta trebuie împărțit succesiv la 2 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 1 Un număr din sistemul binar este scris ca o secvență a rezultatului ultimei diviziuni și a resturilor din împărțirea în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric binar.

5. Pentru a converti un număr zecimal în sistem octal, acesta trebuie împărțit succesiv la 8 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 7 Un număr în sistemul octal este scris ca o secvență de cifre a rezultatului ultimei diviziuni restul diviziunii în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul de numere octale.

6. Pentru a converti un număr zecimal în sistemul hexazecimal, acesta trebuie împărțit succesiv la 16 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 15. Un număr din sistemul hexazecimal se scrie ca o succesiune de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și resturile din împărțire în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistem numeric hexazecimal.

Într-unul dintre materialele noastre, ne-am uitat la definiție. Are cel mai scurt alfabet. Doar două cifre: 0 și 1. Exemple de alfabete ale sistemelor de numere poziționale sunt date în tabel.

Sisteme numerice poziționale

Pentru a converti un număr mic din zecimal în binar și invers, este mai bine să utilizați următorul tabel.

Tabel de conversie a numerelor zecimale de la 0 la 20 în sistemul numeric binar.

Cu toate acestea, tabelul se va dovedi a fi uriaș dacă scrieți toate numerele acolo. Găsirea numărului potrivit dintre ele va fi mai dificilă. Este mult mai ușor să ne amintim mai mulți algoritmi pentru conversia numerelor dintr-un sistem numeric pozițional în altul.

Cum se convertesc de la un sistem numeric la altul? În informatică, există mai multe moduri simple de a converti numere zecimale în numere binare. Să ne uităm la două dintre ele.

Metoda numărul 1.

Să presupunem că trebuie să convertiți un număr 637 sistem zecimal la sistem binar.

Acest lucru se face după cum urmează: puterea maximă a doi este găsită astfel încât doi în această putere să fie mai mic sau egal cu numărul inițial.

În cazul nostru este 9, pentru că 2 9 =512 , A 2 10 =1024 , care este mai mare decât numărul nostru de pornire. Astfel, am primit numărul de cifre ale rezultatului. Este egal cu 9+1=10. Aceasta înseamnă că rezultatul va arăta ca 1ххххххххх, unde x poate fi înlocuit cu 1 sau 0.

Să găsim a doua cifră a rezultatului. Să ridicăm doi la puterea lui 9 și să scădem din numărul inițial: 637-2 9 =125. Apoi comparați cu numărul 2 8 =256 . Deoarece 125 este mai mic decât 256, a noua cifră va fi 0, adică. rezultatul va lua deja forma 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , ceea ce înseamnă că a opta cifră va fi, de asemenea, zero.

2 6 =64 , atunci a șaptea cifră este egală cu 1. 125-64=61 Astfel, am primit patru cifre senior și numărul va lua forma 10011ххххх.

2 5 =32 și vedem că 32< 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - a cincea cifră 1 => 1001111xxx. Restul 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111хх, rest 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110x, rest 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Acesta va fi rezultatul final.

Metoda numărul 2.

Regula pentru conversia numerelor zecimale întregi în sistemul de numere binar spune:

1. Să împărțim a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1⋅2 n−1 +a n−2⋅2 n−2 +...+a 0⋅2 0 cu 2.
2. Coeficientul va fi egal cu an−1⋅2n−2+...+a1, iar restul va fi egal
3. Să împărțim din nou câtul rezultat la 2, restul împărțirii va fi egal cu a1.
4. Dacă continuăm acest proces de împărțire, atunci la al n-lea pas obținem un set de numere: a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n−1, care sunt incluse în reprezentarea binară a numărului inițial și coincid cu resturile atunci când acesta este împărțit succesiv la 2.
5. Astfel, pentru a converti un număr zecimal întreg în sistemul de numere binar, trebuie să împărțiți secvențial numărul dat și coeficientii întregi rezultați la 2 până când obținem un cot care este egal cu zero.

Numărul original în sistemul de numere binar este compilat prin înregistrarea secvenţială a resturilor rezultate. Începem să-l înregistrăm cu ultimul găsit.

Să convertim numărul zecimal 11 în sistemul de numere binar. Secvența de acțiuni discutată mai sus (algoritm de traducere) poate fi descrisă după cum urmează:

Primit 11 10 =1011 2 .

Exemplu:

Dacă numărul zecimal este suficient de mare, atunci este mai convenabil următorul mod de scriere a algoritmului discutat mai sus:

363 10 =101101011 2

Când configurați rețele de diferite dimensiuni și vă ocupați de calcule în fiecare zi, nu trebuie să creați acest tip de foaie de cheat, totul se face pe un reflex necondiționat. Dar când te uiți foarte rar în rețele, nu îți amintești întotdeauna care este masca în formă zecimală pentru prefixul 21 sau care este adresa de rețea pentru același prefix. În acest sens, am decis să scriu mai multe articole mici-cheat sheets despre conversia numerelor în diverse sisteme de numere, adrese de rețea, măști etc. În această parte vom vorbi despre conversia numerelor în diferite sisteme numerice.

1. Sisteme numerice

Când faci ceva legat de rețelele de calculatoare și IT, oricum vei întâlni acest concept. Și ca profesionist IT inteligent, trebuie să înțelegi măcar puțin acest lucru, chiar dacă în practică îl vei folosi foarte rar.
Să ne uităm la traducerea fiecărei cifre dintr-o adresă IP 98.251.16.138 în următoarele sisteme numerice:

• Binar
• Octal
• Zecimal
• hexazecimal

1.1 Decimală

Deoarece numerele sunt scrise în zecimală, vom sări peste conversia de la zecimal la zecimal :)

1.1.1 Decimal → Binar

După cum știm, sistemul de numere binare este folosit în aproape toate computerele moderne și multe alte dispozitive de calcul. Sistemul este foarte simplu - avem doar 0 și 1.
Pentru a converti un număr cu o zecime în formă binară, trebuie să utilizați diviziunea modulo 2 (adică împărțirea întregului cu 2), în urma căreia vom avea întotdeauna un rest de 1 sau 0. În acest caz, rezultatul este scris de la dreapta la stânga. Un exemplu va pune totul la locul lui:

Figura 1.1 – Conversia numerelor din sistem zecimal în sistem binar

Figura 1.2 – Conversia numerelor din sistem zecimal în sistem binar

Voi descrie împărțirea numărului 98. Împărțim 98 la 2, ca rezultat avem 49 și restul 0. Apoi continuăm împărțirea și împărțim 49 la 2, ca rezultat avem 24 cu un rest 1. Și în la fel ajungem la 1 sau 0 în divizibil. Apoi scriem rezultatul de la dreapta la stânga.

1.1.2 Decimală → Octal

Sistemul octal este un sistem de numere întregi cu baza 8. I.e. toate numerele din el sunt reprezentate în intervalul 0 – 7 și pentru a converti din sistemul zecimal trebuie să utilizați diviziunea modulo 8.

Figura 1.3 – Conversia numerelor din sistem zecimal în sistem octal

Împărțirea este similară cu sistemul în 2 puncte.

1.1.3 Decimală → Hexazecimală

Sistemul hexazecimal a înlocuit aproape complet sistemul octal. Are o bază de 16, dar folosește cifre zecimale de la 0 la 9 + litere latine de la A (numărul 10) la F (numărul 15). Îl întâlniți de fiecare dată când verificați setările adaptorului de rețea - aceasta este adresa MAC. Același lucru când este utilizat IPv6.

Figura 1.4 – Conversia numerelor din zecimal în hexazecimal

1.2 Binar

În exemplul anterior, am convertit toate numerele zecimale în alte sisteme numerice, dintre care unul este binar. Acum să convertim fiecare număr din forma binară.

1.2.1 Binar → Decimal

Pentru a converti numerele din binar în zecimal, trebuie să cunoașteți două nuanțe. Primul este că fiecare zero și unu au un factor de 2 la a n-a putere, în care n crește de la dreapta la stânga cu exact unu. Al doilea este că după înmulțire, toate numerele trebuie adăugate și obținem numărul în formă zecimală. Ca rezultat, vom avea o formulă ca aceasta:

D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)

Unde,
D este numărul zecimal pe care îl căutăm;
n– numărul de caractere dintr-un număr binar;
a – un număr în formă binară la a n-a poziție (adică primul caracter, al doilea etc.);
p – coeficient egal cu 2,8 sau 16 la putere n(în funcție de sistemul de numere)

De exemplu, să luăm numărul 110102. Ne uităm la formula și scriem:

• Numărul este format din 5 caractere ( n=5)

a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0

• p = 2 (deoarece convertim din binar în zecimal)

Ca rezultat avem:

D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10

Pentru cei care sunt obișnuiți să scrie de la dreapta la stânga, formularul va arăta astfel:

D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10

Dar, după cum știm, rearanjarea termenilor nu schimbă suma. Acum să convertim numerele noastre în formă zecimală.

Figura 1.5 – Conversia numerelor din sistem binar în sistem zecimal

1.2.2 Binar → Octal

Când traducem, trebuie să împărțim numărul binar în grupuri de trei caractere de la dreapta la stânga. Dacă ultimul grup nu este format din trei caractere, atunci pur și simplu înlocuim biții lipsă cu zerouri. De exemplu:

10101001 = 0 10 101 001

1011100 = 00 1 011 100

Fiecare grup de biți este unul dintre numerele octale. Pentru a afla care dintre ele, trebuie să utilizați formula 1.2.1 scrisă mai sus pentru fiecare grup de biți. Ca rezultat obținem.

Figura 1.6 – Conversia numerelor din sistem binar în sistem octal

1.2.3 Binar → Hexazecimal

Aici trebuie să împărțim numărul binar în grupuri de patru caractere de la dreapta la stânga, urmat de adăugarea de zerouri la biții lipsă ai grupului, așa cum este descris mai sus. Dacă ultimul grup este format din zerouri, atunci acestea ar trebui ignorate.

110101011 = 000 1 1010 1011

1011100 = 0 101 1100

001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

Fiecare grup de biți este unul dintre numerele hexazecimale. Folosim formula 1.2.1 pentru fiecare grup de biți.

Figura 1.7 – Conversia numerelor din binar în hexazecimal

1,3 octal

În acest sistem, este posibil să avem dificultăți numai la conversia în hexazecimal, deoarece restul traducerii merge fără probleme.

1.3.1 Octal → Binar

Fiecare număr din sistemul octal este un grup de trei biți din sistemul binar, așa cum este descris mai sus. Pentru a traduce, trebuie să folosim o foaie de cheat:

Figura 1.8 – Spur pentru conversia numerelor din sistemul octal

Folosind această tabletă, ne vom converti numerele în sistemul binar.

Figura 1.9 – Conversia numerelor din octal în binar

Voi descrie puțin concluzia. Primul nostru număr este 142, ceea ce înseamnă că vor fi trei grupuri de câte trei biți fiecare. Folosim pintenul și vedem că numărul 1 este 001, numărul 4 este 100 și numărul 2 este 010. Ca rezultat, avem numărul 001100010.

1.3.2 Octal → Decimal

Aici folosim formula 1.2.1 numai cu un coeficient de 8 (adică p=8). Ca rezultat avem

Figura 1.10 – Conversia numerelor din sistem octal în sistem zecimal

• Numărul este format din 3 caractere ( n=3)

a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2

• p = 8 (deoarece convertim de la octal la zecimal)

Ca rezultat avem:

D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10

1.3.3 Octal → Hexazecimal

După cum a fost scris mai devreme, pentru a traduce, mai întâi trebuie să convertim numerele în sistem binar, apoi din binar în hexazecimal, împărțindu-le în grupuri de 4 biți. Puteți folosi următorul pinten.

Figura 1.11 – Spur pentru conversia numerelor din sistemul hexazecimal

Acest tabel vă va ajuta să convertiți din binar în hexazecimal. Acum să ne convertim numerele.

Figura 1.12 – Conversia numerelor din octal în hexazecimal

1.4 Hexazecimal

Acest sistem are aceeași problemă la conversia în octal. Dar mai multe despre asta mai târziu.

1.4.1 Hex → Binar

Fiecare număr în hexazecimal este un grup de patru biți în binar, așa cum este descris mai sus. Pentru a traduce, putem folosi foaia de trucuri situată mai sus. Ca urmare:

Figura 1.13 – Conversia numerelor din hexazecimal în binar

Să luăm primul număr - 62. Folosind tabelul (Fig. 1.11) vedem că 6 este 0110, 2 este 0010, ca urmare avem numărul 01100010.

1.4.2 Hex → Decimal

Aici folosim formula 1.2.1 numai cu un coeficient de 16 (adică p=16). Ca rezultat avem

Figura 1.14 – Conversia numerelor din hexazecimal în zecimal

Să luăm primul număr. Pe baza formulei 1.2.1:

• Numărul este format din 2 caractere ( n=2)

a 2 = 6, a 1 = 2

• p = 16 (deoarece convertim de la hexazecimal la zecimal)

Ca rezultat avem.

D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10

1.4.3 Hex → Octal

Pentru a converti în sistemul octal, trebuie mai întâi să convertiți în binar, apoi să îl împărțiți în grupuri de 3 biți și să utilizați tabelul (Fig. 1.8). Ca urmare:

Figura 1.15 – Conversia numerelor din hexazecimal în octal

Vom vorbi despre adrese IP, măști și rețele.

Nota 1

Dacă doriți să convertiți un număr dintr-un sistem numeric în altul, atunci este mai convenabil să îl convertiți mai întâi în sistemul numeric zecimal și abia apoi să îl convertiți din sistemul numeric zecimal în orice alt sistem numeric.

Reguli pentru conversia numerelor din orice sistem numeric în zecimal

În tehnologia de calcul care utilizează aritmetica mașină, conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul joacă un rol important. Mai jos dăm regulile de bază pentru astfel de transformări (traduceri).

Când convertiți un număr binar într-o zecimală, trebuie să reprezentați numărul binar ca un polinom, fiecare element fiind reprezentat ca produsul unei cifre a numărului și puterea corespunzătoare a numărului de bază, în acest caz $2$, și apoi trebuie să calculați polinomul folosind regulile aritmeticii zecimale:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Figura 1. Tabelul 1

Exemplul 1

Convertiți numărul $11110101_2$ în sistemul numeric zecimal.

Soluţie. Folosind tabelul dat de $1$ puteri ale bazei $2$, reprezentăm numărul ca polinom:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 6 + 6 + 2 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Pentru a converti un număr din sistemul de numere octale în sistemul de numere zecimal, trebuie să îl reprezentați ca un polinom, fiecare element fiind reprezentat ca produsul unei cifre a numărului și puterea corespunzătoare a numărului de bază, în acest caz $8$, iar apoi trebuie să calculați polinomul conform regulilor aritmeticii zecimale:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Figura 2. Tabelul 2

Exemplul 2

Convertiți numărul $75013_8$ în sistemul numeric zecimal.

Soluţie. Folosind tabelul dat de $2$ puteri ale bazei $8$, reprezentăm numărul ca polinom:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Pentru a converti un număr din hexazecimal în zecimal, trebuie să îl reprezentați ca un polinom, fiecare element fiind reprezentat ca produsul unei cifre a numărului și puterea corespunzătoare a numărului de bază, în acest caz $16$, apoi trebuie să calculați polinomul conform regulilor aritmeticii zecimale:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Figura 3. Tabelul 3

Exemplul 3

Convertiți numărul $FFA2_(16)$ în sistemul numeric zecimal.

Soluţie. Folosind tabelul dat de $3$ puteri ale bazei $8$, reprezentăm numărul ca un polinom:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Reguli pentru conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în altul

• Pentru a converti un număr din sistemul numeric zecimal în sistemul binar, acesta trebuie împărțit secvenţial la $2$ până când există un rest mai mic sau egal cu $1$. Un număr din sistemul binar este reprezentat ca o succesiune a ultimului rezultat al împărțirii și a resturilor din divizare în ordine inversă.

Exemplul 4

Convertiți numărul $22_(10)$ în sistemul numeric binar.

Soluţie:

Figura 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Pentru a converti un număr din sistemul numeric zecimal în octal, acesta trebuie împărțit succesiv la $8$ până când există un rest mai mic sau egal cu $7$. Un număr din sistemul de numere octale este reprezentat ca o succesiune de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și resturile din împărțire în ordine inversă.

Exemplul 5

Convertiți numărul $571_(10)$ în sistemul numeric octal.

Soluţie:

Figura 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Pentru a converti un număr din sistemul numeric zecimal în sistemul hexazecimal, acesta trebuie împărțit succesiv la $16$ până când există un rest mai mic sau egal cu $15$. Un număr din sistemul hexazecimal este reprezentat ca o succesiune de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și restul divizării în ordine inversă.

Exemplul 6

Convertiți numărul $7467_(10)$ în sistem numeric hexazecimal.

Soluţie:

Figura 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Pentru a converti o fracție adecvată dintr-un sistem de numere zecimal într-un sistem de numere non-zecimal, este necesar să înmulțiți secvențial partea fracțională a numărului care este convertit cu baza sistemului în care trebuie convertit. Fracțiile din noul sistem vor fi reprezentate ca părți întregi de produse, începând cu prima.

De exemplu: $0,3125_((10))$ în sistemul de numere octale va arăta ca $0,24_((8))$.

În acest caz, puteți întâmpina o problemă când o fracție zecimală finită poate corespunde unei fracțiuni infinite (periodice) în sistemul numeric non-zecimal. În acest caz, numărul de cifre din fracția reprezentată în noul sistem va depinde de precizia necesară. De asemenea, trebuie remarcat faptul că numerele întregi rămân numere întregi, iar fracțiile proprii rămân fracții în orice sistem numeric.

Reguli pentru conversia numerelor dintr-un sistem de numere binar în altul

• Pentru a converti un număr din sistemul de numere binar în octal, acesta trebuie împărțit în triade (triplu de cifre), începând cu cifra cea mai puțin semnificativă, dacă este necesar, adăugând zerouri la triada principală, apoi înlocuiți fiecare triadă cu cifra octală corespunzătoare. conform tabelului 4.

Figura 7. Tabelul 4

Exemplul 7

Convertiți numărul $1001011_2$ în sistemul de numere octale.

Soluţie. Folosind Tabelul 4, convertim numărul din sistemul numeric binar în octal:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Pentru a converti un număr din sistemul de numere binar în hexazecimal, acesta trebuie împărțit în tetrade (patru cifre), începând cu cifra cea mai puțin semnificativă, dacă este necesar, adăugând zerouri la cea mai semnificativă tetradă, apoi înlocuiți fiecare tetradă cu cifra octală corespunzătoare. conform tabelului 4.