Cum se rezolvă integralele definite folosind metoda schimbării variabilei. II

27.08.2019 Un ghid pentru straturi în Photoshop

Schimbarea unei variabile într-o integrală nedefinită. Formula de conversie a diferenţialelor. Exemple de integrare. Exemple de substituții liniare.

Metoda de înlocuire a variabilei

Modificările variabilelor pot fi folosite pentru a evalua integralele simple și, în unele cazuri, pentru a simplifica calculul celor mai complexe.

Metoda de înlocuire a variabilelor este că trecem de la variabila de integrare inițială, fie x, la o altă variabilă, pe care o notăm t. În acest caz, credem că variabilele x și t sunt legate printr-o relație x = x(t) , sau t = t(x) . De exemplu, x = ln t, x = sin t, t =

2 x + 1

, etc. Sarcina noastră este să selectăm o astfel de relație între x și t încât integrala inițială fie să fie redusă la una tabelară, fie să devină mai simplă. , sau t = t Formula de bază de înlocuire a variabilei În acest caz, credem că variabilele x și t sunt legate printr-o relație x = x Să luăm în considerare expresia care stă sub semnul integral. Constă din produsul integrandului, pe care îl notăm f , sau t = t si diferential dx: .

Să trecem la o nouă variabilă t alegând o relație x = x , sau t = t. În acest caz, credem că variabilele x și t sunt legate printr-o relație x = x.

Atunci trebuie să exprimăm funcția f
.
iar diferența dx prin variabila t.

Pentru a exprima funcția integrand f
.

prin variabila t, trebuie doar să înlocuiți relația selectată x = x în loc de variabila x , sau t = t Conversia diferenţială se face astfel:
,
Adică diferența dx este egală cu produsul derivatei lui x față de t și diferența dt. , sau t = t Apoi
.

În practică, cel mai frecvent caz este în care efectuăm o înlocuire prin alegerea unei variabile noi în funcție de cea veche: t = t
(1) ,
.
(2) ,
Dacă am ghici că funcția integrand poate fi reprezentată ca

unde t′

este derivata lui t în raport cu x, atunci

Deci, formula de bază de înlocuire a variabilei poate fi prezentată în două forme.
.

unde x este o funcție a lui t.
;
;
.

unde t este o funcție a lui x. Notă importantă trebuie avut în vedere că la trecerea la variabila de integrare x, diferenţialul se transformă astfel:
.
Apoi
.

Acest exemplu surprinde esența integrării prin substituție. Adică trebuie să ghicim asta
.
După care integrala se reduce la una tabelară.
.

Puteți evalua această integrală folosind o schimbare de variabilă folosind formula (2) . Să punem t = x 2+x.
;
;

.

Apoi

1) Exemple de integrare prin schimbarea variabilei
.
Să calculăm integrala Observăm că.

.
(sin x)′ = cos x Aici am folosit substituția t =.

2) Exemple de integrare prin schimbarea variabilei
.
sin x

.
Observăm că. Apoi.

3) Aici am realizat integrarea prin schimbarea variabilei t =
.
sin x

arctan x 2 + 1 .

Să ne integrăm

.
Aici, în timpul integrării, variabila t = x este înlocuită
Substituții liniare
.

Poate că cele mai comune sunt substituțiile liniare. Acesta este un înlocuitor pentru o variabilă a formularului

t = ax + b, unde a și b sunt constante. Cu o astfel de înlocuire, diferențele sunt legate prin relație
.
Exemple de integrare prin substituții liniare
.

O) Calculați integrala
.
Exemple de integrare prin substituții liniare
Soluţie.
.
B) Găsiți integrala

.

Să folosim proprietățile funcției exponențiale. unde a și b sunt constante. Cu o astfel de înlocuire, diferențele sunt legate prin relație
.
Exemple de integrare prin substituții liniare
ln 2
.
- aceasta este o constantă. Calculăm integrala.

.

C) Calculați integrala
.
Exemple de integrare prin substituții liniare
Să reducem polinomul pătratic din numitorul fracției la suma pătratelor.

.
Calculăm integrala.

.
D)
.
Să transformăm polinomul sub rădăcină.
.
Integram folosind metoda de inlocuire variabila.

Anterior am primit formula De aiciÎnlocuind această expresie, obținem răspunsul final.

această lecție;
Ne vom familiariza cu una dintre cele mai importante și mai comune tehnici care se utilizează la rezolvarea integralelor nedefinite - metoda schimbării variabilei. Stăpânirea cu succes a materialului necesită cunoștințe inițiale și abilități de integrare. Dacă există o senzație de fierbător plin gol în calculul integral, atunci ar trebui să vă familiarizați mai întâi cu materialul, unde am explicat într-o formă accesibilă ce este o integrală și am analizat în detaliu exemple de bază pentru începători..

Din punct de vedere tehnic, metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită este implementată în două moduri:

– Subsumarea funcției sub semnul diferențial

– Înlocuind de fapt variabila

În esență, acestea sunt același lucru, dar designul soluției arată diferit. Să începem cu un caz mai simplu. Subsumând o funcție sub semnul diferențial

În clasă

Integrală nedefinită. Exemple de soluții

am invatat cum sa deschidem diferentialul, iti amintesc de exemplul pe care l-am dat:

Adică, dezvăluirea unei diferenţiale este în mod formal aproape la fel cu găsirea unei derivate. . Dar problema este că sub sinus nu avem doar litera „X”, ci o expresie complexă. Ce să fac?

Aducem funcția sub semnul diferențial:

Prin deschiderea diferenţialului, este uşor de verificat că:

De fapt şi este o înregistrare a aceluiași lucru.

Dar, cu toate acestea, a rămas întrebarea, cum am ajuns la ideea că la primul pas trebuie să ne scriem integrala exact așa: ? De ce așa și nu altfel?

Formula (și toate celelalte formule de tabel) sunt valide și aplicabile NU NUMAI pentru variabilă, ci și pentru orice expresie complexă NUMAI CA ARGUMENT DE FUNCȚIE(- în exemplul nostru) ȘI EXPRESIA DE SUB SEMNUL DIFERENȚIAL A FOST ACEEAȘI .

Prin urmare, raționamentul mental atunci când rezolvăm ar trebui să fie cam așa: „Trebuie să rezolv integrala. M-am uitat în tabel și am găsit o formulă similară . Dar am un argument complex și nu pot folosi imediat formula. Totuși, dacă reușesc să-l obțin sub semnul diferențial, atunci totul va fi bine. Dacă îl notez, atunci. Dar în integrala originală nu există un factor trei, prin urmare, pentru ca funcția integrand să nu se schimbe, trebuie să o înmulțesc cu ". În cursul unui astfel de raționament mental, se naște următoarea intrare:

Acum puteți folosi formula tabelară :

Gata

Singura diferență este că nu avem litera „X”, ci o expresie complexă.

Să verificăm. Deschideți tabelul de derivate și diferențiați răspunsul:

S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Vă rugăm să rețineți că în timpul verificării am folosit regula de diferențiere functie complexa . În esență, subsumând funcția sub semnul diferențial și - acestea sunt două reguli reciproc inverse.

Exemplul 2

Să analizăm funcția integrand. Aici avem o fracție, iar numitorul este o funcție liniară (cu „X” la prima putere). Ne uităm la tabelul integralelor și găsim cel mai asemănător lucru: .

Aducem funcția sub semnul diferențial:

Cei cărora le este greu să-și dea seama imediat cu ce fracție să se înmulțească pot dezvălui rapid diferența într-o schiță: . Da, se pare că asta înseamnă că, pentru ca nimic să nu se schimbe, trebuie să înmulțesc integrala cu .
În continuare folosim formula tabelară :

Examinare:

S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost găsită corect.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Răspunsul este la sfârșitul lecției.

Cu ceva experiență în rezolvarea integralelor, astfel de exemple vor părea ușoare și vor face clic ca pe nucile:

La sfârșitul acestei secțiuni, aș dori să mă opresc și asupra cazului „liber”, când într-o funcție liniară o variabilă intră cu un coeficient unitar, de exemplu:

Strict vorbind, soluția ar trebui să arate astfel:

După cum puteți vedea, subsumarea funcției sub semnul diferențial a fost „nedureroasă”, fără înmulțiri. Prin urmare, în practică acest lucru soluție lungă deseori neglijat și imediat notat că . Dar fii pregătit, dacă este necesar, să-i explici profesorului cum ai rezolvat-o! Pentru că de fapt nu există nicio integrală în tabel.

Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită

Să trecem la considerare caz general– metoda de schimbare a variabilelor în integrala nedefinită.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Ca exemplu, am luat integrala pe care ne-am uitat chiar la începutul lecției. După cum am spus deja, pentru a rezolva integrala ne-a plăcut formula tabelară , și aș dori să reduc întreaga problemă la ea.

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să înlocuiți o expresie complexă (sau o anumită funcție) cu o singură literă.
ÎN în acest caz, aceasta sugerează în sine:
A doua cea mai populară scrisoare de înlocuire este litera .
În principiu, puteți folosi și alte litere, dar vom adera în continuare la tradiții.

Aşa:
Dar când îl înlocuim, rămânem cu! Probabil, mulți au ghicit că, dacă se face o tranziție la o nouă variabilă, atunci în noua integrală totul ar trebui să fie exprimat prin literă și nu există deloc loc pentru o diferență acolo.
Concluzia logică este că ai nevoie se transformă într-o expresie care depinde numai de.

Acțiunea este următoarea. După ce am selectat un înlocuitor, în acest exemplu trebuie să găsim diferența. Cu diferențe, cred că toată lumea și-a stabilit deja prietenie.

De atunci

După dezasamblarea diferențialului, recomand să rescrieți rezultatul final cât mai scurt posibil:
Acum, conform regulilor proporției, exprimăm ceea ce avem nevoie:

Ca urmare:
Astfel:

Și aceasta este deja cea mai tabelă integrală (tabelul de integrale, desigur, este valabil și pentru variabilă).

În cele din urmă, tot ce rămâne este să efectuăm înlocuirea inversă. Să ne amintim asta.

Gata.

Designul final al exemplului luat în considerare ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu are nicio semnificație matematică înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când pregătiți un exemplu într-un caiet, este mai bine să marcați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Acum este momentul să ne amintim prima soluție:

Care este diferența? Nu există nicio diferență fundamentală. Este de fapt același lucru. Dar din punctul de vedere al proiectării sarcinii, metoda de subsumare a unei funcții sub semnul diferențial este mult mai scurtă.

Apare o întrebare. Dacă prima metodă este mai scurtă, atunci de ce să folosiți metoda de înlocuire? Faptul este că pentru un număr de integrale nu este atât de ușor să „potriviți” funcția la semnul diferenţialului.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Să facem un înlocuitor: (este greu să te gândești la un alt înlocuitor aici)

După cum puteți vedea, ca urmare a înlocuirii, integrala originală a fost simplificată semnificativ - redusă la o funcție de putere obișnuită. Acesta este scopul înlocuirii - de a simplifica integrala.

Persoanele avansate leneși pot rezolva cu ușurință această integrală subsumând funcția sub semnul diferențial:

Un alt lucru este că o astfel de soluție, evident, nu este pentru toți studenții. În plus, deja în acest exemplu, utilizarea metodei de subsumare a unei funcții sub semnul diferențial crește semnificativ riscul de a fi confuz într-o decizie.

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită.

Înlocuire:
Rămâne de văzut în ce se va transforma

Bine, am exprimat-o, dar ce să facem cu „X” rămas în numărător?!
Din când în când, la rezolvarea integralelor, întâlnim următorul truc: vom exprima din aceeași înlocuire !

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul este la sfârșitul lecției.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită.

Cu siguranță unii oameni au observat asta la mine tabel de referință nu există o regulă de înlocuire a variabilelor. Acest lucru a fost făcut în mod deliberat. Regula ar crea confuzie în explicație și înțelegere, deoarece nu apare în mod explicit în exemplele de mai sus.

Acum este timpul să vorbim despre premisa de bază a utilizării metodei de substituție a variabilelor: integrandul trebuie să conțină o funcție și derivata ei:(funcțiile pot să nu fie în produs)

În acest sens, atunci când găsiți integrale, de multe ori trebuie să vă uitați la tabelul derivatelor.

În exemplul luat în considerare, observăm că gradul numărătorului este cu unul mai mic decât gradul numitorului. În tabelul derivatelor găsim o formulă care reduce doar gradul cu unu. Și asta înseamnă că, dacă îl desemnați ca numitor, atunci există șanse mari ca numărătorul să se transforme în ceva bun.

Anterior noi funcţie dată, ghidat de diverse formule și reguli, și-a găsit derivatul. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar, alături de problema găsirii vitezei după o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării după o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Răspuns: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$, unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece $\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite și se inventează notații speciale, de exemplu: pătrarea (x 2) și extragerea rădăcină pătrată($\sqrt(x) $), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei unei anumite funcții se numește diferenţiere, iar operația inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, este integrare.

Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „în viața de zi cu zi”: funcția y = f(x) „produce” caracteristică nouă y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu o numesc „părinte” sau „producător” ei spun că este, în raport cu funcția y" = f"(; x), imagine primară sau primitivă.

Definiţie. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru $x \in X$

În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).

Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată

Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).

Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.

Metode de integrare

Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)

Metoda integrării prin substituție presupune introducerea unei noi variabile de integrare (adică substituția). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Metode comune nu există o selecție de substituții. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala $\textstyle \int F(x)dx $. Să facem substituția $x= \varphi(t) $ unde $\varphi(t) $ este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Integrarea expresiilor de forma $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.

Integrare pe părți

Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă de integrare:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
sau:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Să trecem la considerarea cazului general - metoda de schimbare a variabilelor în integrala nedefinită.

Exemplul 5

Ideea din spatele metodei de înlocuire este să înlocuiți o expresie complexă (sau o anumită funcție) cu o singură literă.
În acest caz, se cere:
A doua cea mai populară scrisoare de înlocuire este litera .
În principiu, puteți folosi și alte litere, dar vom adera în continuare la tradiții.

Acțiunea este următoarea. După ce am selectat un înlocuitor, în acest exemplu, trebuie să găsim diferența. Cu diferențe, cred că toată lumea și-a stabilit deja prietenie.

De atunci

După dezasamblarea diferențialului, recomand să rescrieți rezultatul final cât mai scurt posibil:
Acum, conform regulilor proporției, exprimăm ceea ce avem nevoie:

Ca urmare:
Astfel:

Și aceasta este deja cea mai tabelă integrală (tabelul de integrale este, desigur, valabil și pentru variabila ).

În cele din urmă, tot ce rămâne este să efectuăm înlocuirea inversă. Să ne amintim asta.

Gata.

Designul final al exemplului luat în considerare ar trebui să arate cam așa:

“

Să înlocuim:

“

Icoana nu are nicio semnificație matematică înseamnă că am întrerupt soluția pentru explicații intermediare.

Când pregătiți un exemplu într-un caiet, este mai bine să marcați înlocuirea inversă cu un simplu creion.

Atenţie!În următoarele exemple, găsirea diferenţialului nu va fi descrisă în detaliu.

Acum este momentul să ne amintim prima soluție:

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Să facem un înlocuitor: (este greu să te gândești la un alt înlocuitor aici)

Persoanele avansate leneși pot rezolva cu ușurință această integrală subsumând funcția sub semnul diferențial:

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită.

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul este la sfârșitul lecției.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită.

Cu siguranță unii oameni au observat că în tabelul meu de căutare nu există o regulă de înlocuire a variabilelor. Acest lucru a fost făcut în mod deliberat. Regula ar crea confuzie în explicație și înțelegere, deoarece nu apare în mod explicit în exemplele de mai sus.

Acum este timpul să vorbim despre premisa de bază a utilizării metodei de substituție a variabilelor: integrandul trebuie să conţină o anumită funcţie și derivatul său : (funcțiile pot să nu fie în produs)

În acest sens, atunci când găsiți integrale, de multe ori trebuie să vă uitați la tabelul derivatelor.

Înlocuire:

Apropo, nu este atât de dificil să subsumăm funcția sub semnul diferențial:

Trebuie remarcat faptul că pentru fracții precum , acest truc nu va mai funcționa (mai precis, va fi necesar să se aplice nu numai tehnica de înlocuire). Puteți învăța să integrați unele fracții în clasă. Integrarea unor fracții.

Iată câteva exemple tipice pentru soluții independente din aceeași operă:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită.

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită.

Soluții la sfârșitul lecției.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită.

Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim arccosinusul nostru: . În integrandul nostru avem arccosinus și ceva similar cu derivata sa.

Regula generala:
Pentru notăm funcția în sine(și nu derivatul său).

În acest caz: . Rămâne să aflăm în ce se va transforma partea rămasă a integrandului.

În acest exemplu, voi descrie constatarea în detaliu, deoarece este o funcție complexă.

Sau pe scurt:
Folosind regula proporției, exprimăm restul de care avem nevoie:

Astfel:

Aici nu mai este atât de ușor să subsumăm funcția sub semnul diferențial.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită.

Un exemplu pentru o soluție independentă. Răspunsul este foarte aproape.

Cititorii atenți vor fi observat că am luat în considerare câteva exemple cu funcții trigonometrice. Și aceasta nu este o coincidență, deoarece o lecție separată este dedicată integralelor funcțiilor trigonometrice. Mai mult, această lecție oferă câteva îndrumări utile pentru înlocuirea unei variabile, ceea ce este deosebit de important pentru manechin, care nu întotdeauna și nu înțeleg imediat ce fel de înlocuire trebuie făcută într-o anumită integrală. Puteti vedea si cateva tipuri de substitutii in articolul Integrala definita. Exemple de soluții.

Elevii mai experimentați se pot familiariza cu substituțiile tipice în integrale cu funcții iraționale. Înlocuirea la integrarea rădăcinilor este specifică, iar tehnica ei de implementare diferă de cea pe care am discutat-o în această lecție.

iti doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 3: Soluție:

Exemplul 4: Soluție:

Exemplul 7: Soluție:

Exemplul 9: Soluție:

Înlocuire:

Exemplul 11: Soluție:

Să înlocuim:

(vezi articolul Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită ) sau integrala este doar activată metoda integrarii prin piese.

Ca întotdeauna, ar trebui să aveți la îndemână: Tabelul integralelorŞi Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, atunci vă rugăm să vizitați camera de depozitare a site-ului meu: Formule matematice si mese. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul în mod consecvent, simplu și clar, nu există dificultăți deosebite în integrarea părților.

Ce problemă rezolvă metoda integrării pe părți? Metoda de integrare pe părți rezolvă o problemă foarte importantă vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel; lucru

3) , , sunt funcții trigonometrice înmulțite cu un polinom.

4) , – funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri” înmulțite cu un polinom.

Unele fracții sunt, de asemenea, luate în părți, vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare.

Integrare prin substituire (înlocuire variabilă). Să presupunem că trebuie să calculați o integrală care nu este tabelară. Esența metodei substituției este aceea că în integrală variabila x este înlocuită cu variabila t după formula x = μ(t), din care dx = μ"(t)dt.

Teorema. Fie definită și diferențiabilă funcția x=t(t) pe o anumită mulțime T și fie X mulțimea de valori a acestei funcții pe care este definită funcția f(x). Atunci dacă pe mulțimea X funcția f(x) are o antiderivată, atunci pe mulțimea T este valabilă formula:

Formula (1) se numește modificarea formulei variabilei în integrala nedefinită.

Integrare pe părți. Metoda de integrare pe părți decurge din formula pentru diferența produsului a două funcții. Fie u(x) și v(x) două funcții diferențiabile ale variabilei x. Apoi:

d(uv)=udv+vdu. - (3)

Integrând ambele părți ale egalității (3), obținem:

Dar de atunci:

Relația (4) se numește formula de integrare prin părți. Folosind această formulă, găsiți integrala. Este recomandabil să îl utilizați atunci când integrala din partea dreaptă a formulei (4) este mai simplu de calculat decât cea inițială.

În formula (4) nu există o constantă arbitrară C, deoarece în partea dreaptă a acestei formule există o integrală nedefinită care conține o constantă arbitrară.

Prezentăm câteva tipuri de integrale frecvent întâlnite calculate prin metoda integrării pe părți.

I. Integrale de forma, (P n (x) este un polinom de grad n, k este un anumit număr). Pentru a găsi aceste integrale, este suficient să setați u=P n (x) și să aplicați formula (4) de n ori.

II. Integrale de forma, (Pn(x) este un polinom de grad n în raport cu x). Ele pot fi găsite folosind frecvențe, luând pentru u o funcție care este un multiplicator pentru P n (x).