Definiția 1

Ansamblul tuturor antiderivatelor funcţie dată$y=f(x)$ definit pe un anumit segment se numeste integrala nedefinita a unei functii date $y=f(x)$. Integrala nedefinită se notează cu simbolul $\int f(x)dx $.

Comentariu

Definiția 2 poate fi scrisă după cum urmează:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Nu de la toată lumea funcţie iraţională integrala poate fi exprimată în termeni de funcţii elementare. Cu toate acestea, majoritatea acestor integrale pot fi reduse folosind substituții la integrale ale funcțiilor raționale, care pot fi exprimate în termeni de funcții elementare.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

eu

La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

Cu această substituție, fiecare putere fracțională a variabilei $x$ este exprimată printr-o putere întreagă a variabilei $t$. Ca urmare, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.

Exemplul 1

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Soluţie:

$k=4$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(matrice)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Când găsiți o integrală de forma $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

unde $k$ este numitorul comun al fracțiilor $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Ca urmare a acestei substituții, funcția integrand este transformată într-o funcție rațională a variabilei $t$.

Exemplul 2

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \dreapta|+C\]

După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \dreapta|+C.\]

III

La găsirea unei integrale de forma $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, se realizează așa-numita substituție Euler (una dintre cele trei substituții posibile este folosit).

Prima înlocuire a lui Euler

Pentru cazul $a>

Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(a) $, obținem

Exemplul 3

Efectuați integrarea:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire (cazul $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

După efectuarea înlocuirii inverse, obținem rezultatul final:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

A doua înlocuire a lui Euler

Pentru cazul $c>0$ este necesar să se efectueze următoarea înlocuire:

Luând semnul „+” în fața lui $\sqrt(c) $, obținem

Exemplul 4

Efectuați integrarea:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Soluţie:

Să facem următoarea înlocuire:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ După ce am făcut invers înlocuire, obținem rezultatul final:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x) +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( matrice)\]

A treia înlocuire a lui Euler

Anterior, dată fiind o funcție dată, ghidată de diverse formule și reguli, am găsit derivata ei. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar, alături de problema găsirii vitezei după o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării după o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Răspuns: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite și se inventează notații speciale, de exemplu: pătrarea (x 2) și extragerea rădăcină pătrată(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei unei anumite funcții se numește diferenţiere, iar operația inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, este integrare.

Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „în viața de zi cu zi”: funcția y = f(x) „produce” caracteristică nouă y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu o numesc „părinte” sau „producător” ei spun că este, în raport cu funcția y" = f"(; x), imagine primară sau primitivă.

Definiţie. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru \(x \in X\)

În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).

Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată

Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).

Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.

Metode de integrare

Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)

Metoda de integrare prin substituire presupune introducerea unui nou variabila de integrare(adică substituții). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Metode comune nu există o selecție de substituții. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Să facem substituția \(x= \varphi(t) \) unde \(\varphi(t) \) este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrarea expresiilor de forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.

Integrare pe părți

Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă de integrare:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
sau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Clasa de funcții iraționale este foarte largă, așa că pur și simplu nu poate exista o modalitate universală de a le integra. În acest articol vom încerca să identificăm cele mai caracteristice tipuri de funcții integrante iraționale și să le asociem metoda de integrare.

Există cazuri când este oportun să se folosească metoda de abonare la semnul diferențial. De exemplu, când se găsesc integrale nedefinite de formă, unde p– fracția rațională.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită .

Soluţie.

Nu este greu de observat asta. Prin urmare, îl punem sub semnul diferențial și folosim tabelul de antiderivate:

Răspuns:

.

13. Substituție liniară fracțională

Integrale de tipul în care a, b, c, d sunt numere reale, a, b,..., d, g sunt numere naturale, sunt reduse la integrale ale unei funcții raționale prin substituție, unde K este cel mai mic multiplu comun al numitorii fracțiilor

Într-adevăr, din înlocuire rezultă că

adică x și dx sunt exprimate prin funcții raționale ale lui t. Mai mult, fiecare grad al fracției este exprimat printr-o funcție rațională a lui t.

Exemplul 33.4. Găsiți integrala

Rezolvare: Cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor 2/3 și 1/2 este 6.

Prin urmare, punem x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Prin urmare,

Exemplul 33.5. Specificați înlocuirea pentru găsirea integralelor:

Rezolvare: Pentru substituția I 1 x=t 2, pentru substituția I 2

14. Substituția trigonometrică

Integralele de tip sunt reduse la integrale ale funcțiilor care depind rațional de funcțiile trigonometrice folosind următoarele substituții trigonometrice: x = a sint pentru prima integrală; x=a tgt pentru a doua integrală;

Exemplul 33.6. Găsiți integrala

Rezolvare: Să punem x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Apoi

Aici integrandul este o funcție rațională în raport cu x și Selectând un pătrat complet sub radical și făcând o înlocuire, integralele de tipul indicat sunt reduse la integrale de tipul deja considerat, adică la integrale de tipul Aceste integrale pot fi calculate folosind substituții trigonometrice adecvate.

Exemplul 33.7. Găsiți integrala

Rezolvare: Deoarece x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, atunci x+1=t, x=t-1, dx=dt. De aceea Să punem

Notă: tip integral Este oportun să se găsească folosind substituția x=1/t.

15. Integrală definită

Să fie definită o funcție pe un segment și să aibă o antiderivată asupra acestuia. Diferența se numește integrală definită funcțiile de-a lungul segmentului și denotă. Aşa,

Diferența se scrie în formă, atunci . Se numesc numere limitele integrării .

De exemplu, unul dintre antiderivate pentru o funcție. De aceea

16 . Dacă c este un număr constant și funcția ƒ(x) este integrabilă pe , atunci

adică factorul constant c poate fi scos din semnul integralei definite.

▼Să compunem suma integrală pentru funcția cu ƒ(x). Avem:

Apoi rezultă că funcția c ƒ(x) este integrabilă pe [a; b] și formula (38.1) este valabilă.▲

2. Dacă funcțiile ƒ 1 (x) și ƒ 2 (x) sunt integrabile pe [a;b], atunci integrabile pe [a; b] suma lor u

adică integrala sumei este egală cu suma integralelor.

▼
▲

Proprietatea 2 se aplică sumei oricărui număr finit de termeni.

3.

Această proprietate poate fi acceptată prin definiție. Această proprietate este confirmată și de formula Newton-Leibniz.

4. Dacă funcţia ƒ(x) este integrabilă pe [a; b] și a< с < b, то

adică integrala pe întregul segment este egală cu suma integralelor peste părțile acestui segment. Această proprietate se numește aditivitatea unei integrale definite (sau proprietatea aditivității).

La împărțirea segmentului [a;b] în părți, includem punctul c în numărul de puncte de împărțire (acest lucru se poate face datorită independenței limitei sumei integrale de metoda de împărțire a segmentului [a;b] în părți). Dacă c = x m, atunci suma integrală poate fi împărțită în două sume:

Fiecare dintre sumele scrise este integrală, respectiv, pentru segmentele [a; b], [a; s] și [s; b]. Trecând la limita în ultima egalitate ca n → ∞ (λ → 0), obținem egalitatea (38.3).

Proprietatea 4 este valabilă pentru orice locație a punctelor a, b, c (presupunem că funcția ƒ (x) este integrabilă pe cel mai mare dintre segmentele rezultate).

Deci, de exemplu, dacă a< b < с, то

(au fost utilizate proprietățile 4 și 3).

5. „Teorema valorilor medii.” Dacă funcția ƒ(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci există o tonka cu є [a; b] astfel încât

▼După formula Newton-Leibniz avem

unde F"(x) = ƒ(x). Aplicând teorema Lagrange (teorema incrementului finit al unei funcții) la diferența F(b)-F(a), obținem

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Proprietatea 5 („teorema valorii medii”) pentru ƒ (x) ≥ 0 are o semnificație geometrică simplă: valoarea integralei definite este egală, pentru unele c є (a; b), cu aria unui dreptunghi cu înălțimea ƒ (c) și baza b-a ( vezi fig. 170). Număr

se numește valoarea medie a funcției ƒ(x) pe intervalul [a; b].

6. Dacă funcţia ƒ (x) îşi menţine semnul pe segmentul [a; b], unde a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ Prin „teorema valorii medii” (proprietatea 5)

unde c є [a; b]. Și deoarece ƒ(x) ≥ 0 pentru tot x О [a; b], atunci

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Prin urmare ƒ(с) (b-а) ≥ 0, i.e. ▲

7. Inegalitatea între funcțiile continue pe intervalul [a; b], (a

▼Deoarece ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, atunci când un< b, согласно свойству 6, имеем

Sau, conform proprietății 2,

Rețineți că este imposibil să diferențiezi inegalitățile.

8. Estimarea integralei. Dacă m și M sunt, respectiv, cea mai mică și cea mai mare valoare a funcției y = ƒ (x) pe segmentul [a; b], (a< b), то

▼Deoarece pentru orice x є [a;b] avem m≤ƒ(x)≤M, atunci, conform proprietății 7, avem

Aplicând proprietatea 5 integralelor extreme, obținem

▲

Dacă ƒ(x)≥0, atunci proprietatea 8 este ilustrată geometric: aria unui trapez curbiliniu este închisă între zonele dreptunghiurilor a căror bază este , și ale căror înălțimi sunt m și M (vezi Fig. 171).

9. Modulul unei integrale definite nu depășește integrala modulului integrandului:

▼Aplicând proprietatea 7 inegalităților evidente -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, obținem

Rezultă că

▲

10. Derivata unei integrale definite fata de o limita superioara variabila este egala cu integrandul in care variabila de integrare este inlocuita cu aceasta limita, i.e.

Calcularea ariei unei figuri este una dintre cele mai dificile probleme din teoria ariei. La cursul de geometrie a școlii, am învățat să găsim zonele formelor geometrice de bază, de exemplu, un cerc, triunghi, romb etc. Cu toate acestea, mult mai des trebuie să vă ocupați de calcularea ariilor unor cifre mai complexe. Când rezolvați astfel de probleme, trebuie să recurgeți la calculul integral.

În acest articol vom lua în considerare problema calculării ariei unui trapez curbiliniu și o vom aborda într-un sens geometric. Acest lucru ne va permite să aflăm legătura directă dintre integrala definită și aria unui trapez curbiliniu.

Răspunsuri gata privind funcțiile de integrare sunt preluate din testul pentru studenții anilor I și II ai catedrelor de matematică. Pentru a ne asigura că formulele din probleme și răspunsuri nu repetă condițiile sarcinilor, nu vom scrie condițiile. Știți deja că în probleme trebuie fie „Găsiți integrala”, fie „Calculați integrala”. Prin urmare, dacă aveți nevoie de răspunsuri despre integrare, începeți să studiați următoarele exemple.

Integrarea funcţiilor iraţionale

Exemplul 18. Efectuăm o schimbare de variabile sub integrală. Pentru a simplifica calculele, selectăm nu numai rădăcina, ci și întregul numitor pentru noua variabilă. După o astfel de înlocuire, integrala este transformată în suma a două integrale tabelare, care nu trebuie simplificate

După integrare, înlocuim variabila cu o substituție.
Exemplul 19. S-a cheltuit mult timp și spațiu pentru integrarea acestei funcții iraționale fracționale și nici măcar nu știm dacă o poți da seama de pe o tabletă sau telefon. Pentru a scăpa de iraționalitate, și aici avem de-a face cu rădăcina cubă, alegem funcția rădăcină la a treia putere pentru noua variabilă. În continuare, găsim diferența și înlocuim funcția anterioară cu integrala

Partea cea mai consumatoare de timp este programarea unei noi funcții pentru relațiile de putere și fracții.

După transformări, găsim imediat câteva dintre integrale, iar pe ultima o scriem în două, pe care o transformăm după formulele tabelare de integrare.

După toate calculele, nu uitați să reveniți la înlocuirea efectuată la început

Integrarea funcțiilor trigonometrice

Exemplul 20. Trebuie să găsim integrala sinusului la a 7-a putere. Conform regulilor, un sinus trebuie introdus într-o diferenţială (obţinem diferenţa cosinusului), iar sinusul la puterea a 6-a trebuie scris prin cosinus. Astfel ajungem la integrare din funcția noii variabile t = cos (x).



În acest caz, va trebui să aduceți diferența în cub și apoi să integrați
Ca rezultat, obținem un polinom de ordinul 7 în cosinus.


Exemplul 21. În această integrală este necesar să se scrie cosinusul gradului al IV-lea folosind formule trigonometrice prin dependența de cosinusul gradului I. Apoi, aplicăm formula tabelară pentru integrarea cosinusului.

Exemplul 23. Aici avem atât o funcție sinus, cât și o funcție cosinus în numitor. Mai mult, formulele trigonometrice nu vor ajuta la simplificarea dependenței. Pentru a găsi integrala, aplicăm înlocuirea trigonometrică universală t=tan(x/2)

Din înregistrare este clar că numitorii se vor anula și vom obține un trinom pătrat în numitorul fracției. În el selectăm un pătrat complet și o parte liberă. După integrare, ajungem la logaritmul diferenței dintre factorii primi ai numitorului. Pentru a simplifica notația, atât numărătorul, cât și numitorul sub logaritm au fost înmulțiți cu doi.

La sfârșitul calculelor, în locul variabilei, înlocuim tangenta a jumătate din argument.
Exemplul 24. Pentru a integra funcția, scoatem pătratul cosinusului din paranteze, iar între paranteze scădem și adăugăm unul pentru a obține cotangenta.

În continuare, alegem cotangenta u = ctg (x) pentru noua variabilă, diferența acesteia ne va oferi factorul de care avem nevoie pentru simplificare. După substituție ajungem la o funcție care, atunci când este integrată, dă arctangenta.

Ei bine, nu uitați să vă schimbați în cotangent.
Exemplul 25. În ultima sarcină a testului, trebuie să integrați cotangenta unui unghi dublu la gradul 4.


În acest moment, testul privind integrarea a fost rezolvat și nici un singur profesor nu va găsi de vină în răspunsurile și justificarea transformărilor.
Dacă înveți cum să integrezi așa, atunci testele sau secțiunile pe tema integralelor nu sunt înfricoșătoare pentru tine. Toți ceilalți au ocazia să învețe sau să comande soluții de integrale de la noi (sau concurenții noștri :))).

Sub iraţionalînțelegeți o expresie în care variabila independentă %%x%% sau polinomul %%P_n(x)%% de gradul %%n \in \mathbb(N)%% este inclusă sub semn radical(din latină radix- rădăcină), adică ridicat la o putere fracționată. Prin înlocuirea unei variabile, unele clase de integranți care sunt iraționale în raport cu %%x%% pot fi reduse la expresii raționale cu privire la o nouă variabilă.

Conceptul de funcție rațională a unei variabile poate fi extins la mai multe argumente. Dacă pentru fiecare argument %%u, v, \dotsc, w%% la calcularea valorii unei funcții sunt furnizate doar operații aritmetice și creșterea la o putere întreagă, atunci vorbim de o funcție rațională a acestor argumente, care este de obicei notat %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Argumentele unei astfel de funcții pot fi ele însele funcții ale variabilei independente %%x%%, inclusiv radicali de forma %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. De exemplu, funcția rațională $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ cu %%u = x, v = \sqrt(x)%% și %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% este o funcție rațională a lui $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ din %%x%% și radicalii %%\sqrt(x)%% și %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, în timp ce funcția %%f(x)%% va fi o funcție irațională (algebrică) a unei variabile independente %%x%%.

Să considerăm integralele de forma %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Astfel de integrale sunt raționalizate prin înlocuirea variabilei %%t = \sqrt[n](x)%%, apoi %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Exemplul 1

Găsiți %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Integrandul argumentului dorit se scrie in functie de radicali de gradul %%2%% si %%3%%. Deoarece cel mai mic multiplu comun al %%2%% și %%3%% este %%6%%, această integrală este o integrală de tip %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% și poate fi raționalizat prin înlocuirea %%\sqrt(x) = t%%. Atunci %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Prin urmare, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Să luăm %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% și $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\dreapta) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(matrice) $$

Integrale de forma %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% sunt un caz special de iraționalități liniare fracționale, i.e. integrale de forma %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, unde %% ad - bc \neq 0%%, care poate fi raționalizat prin înlocuirea variabilei %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, apoi %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Atunci $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Exemplul 2

Găsiți %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Să luăm %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, apoi %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Prin urmare, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Să considerăm integralele de forma %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. În cele mai simple cazuri, astfel de integrale se reduc la integrale tabelare dacă, după izolarea pătratului complet, se face o schimbare de variabile.

Exemplul 3

Găsiți integrala %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Având în vedere că %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, luăm %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, atunci $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(array) $$

În cazuri mai complexe, pentru a găsi integrale de forma %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% sunt folosite