При b i - "рыб(а)", с i - "н(ый)", получаем по этой модели p i - "рыбный", z i - "приготовленный из рыбы".

Система клеточных автоматов

Модель клеточно-автоматная, если она представима клеточным автоматом или системой клеточных автоматов.

Клеточный автомат - дискретная динамическая система, аналог физического (непрерывного) поля. Клеточно-автоматная геометрия - аналог евклидовой геометрии. Неделимый элемент евклидовой геометрии - точка, на основе ее строятся отрезки, прямые, плоскости и т.д.

Неделимый элемент клеточно-автоматного поля - клетка, на основе её строятся кластеры клеток и различные конфигурации клеточных структур. Представляется клеточный автомат равномерной сетью клеток ("ячеек") этого поля. Эволюция клеточного автомата разворачивается в дискретном пространстве - клеточном поле.

Смена состояний в клеточно-автоматном поле происходит одновременно и параллельно, а время идет дискретно. Несмотря на кажущуюся простоту их построения, клеточные автоматы могут демонстрировать разнообразное и сложное поведение объектов, систем.

В последнее время они широко используются при моделировании не только физических, но и социально-экономических процессов.

Фрактальные модели

Модель называется фрактальной, если она описывает эволюцию моделируемой системы эволюцией фрактальных объектов.

Если физический объект однородный (сплошной), т.е. в нем нет полостей, то можно считать, что его плотность не зависит от размера. Например, при увеличении параметра объекта R до 2R масса объекта увеличится в R 2 раз, если объект- круг и в R 3 раз, если объект - шар, т.е. существует связь массы и длины. Пусть n - размерность пространства. Объект, у которого масса и размер связаны называется "компактным". Его плотность можно рассчитать по формуле:

Если объект (система) удовлетворяет соотношению M(R) ~ R f(n) , где f(n) < n, то такой объект называется фрактальным.

Его плотность не будет одинаковой для всех значений R, то она масштабируется согласно формуле:

Так как f(n) - n < 0 по определению, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера R, а ρ(R) является количественной мерой разряженности объекта.

Пример фрактальной модели - множество Кантора. Рассмотрим отрезок . Разделим его на 3 части и выбросим средний отрезок. Оставшиеся 2 промежутка опять разделим на три части и выкинем средние промежутки и т.д. Получим множество, называемое множеством Кантора. В пределе получаем несчетное множество изолированных точек (рис. 1.4 )

Рис. 1.4. Множество Кантора для 3-х делений

Генетические алгоритмы

Идея генетических алгоритмов "подсмотрена" у систем живой природы, у которых эволюция развертывается достаточно быстро.

Генетический алгоритм - это алгоритм, основанный на имитации генетических процедур развития популяции в соответствии с принципами эволюционной динамики.

Генетические алгоритмы используются для решения задач оптимизации (многокритериальной), для задач поиска и управления.

Данные алгоритмы адаптивны, они развивают решения и развиваются сами.

Генетический алгоритм может быть построен на основе следующей укрупненной процедуры:.

Хотя генетические алгоритмы и могут быть использованы для решения задач, которые, нельзя решить другими методами, они не гарантируют нахождение оптимального решения, по крайней мере, за приемлемое время. Здесь более уместны критерии типа "достаточно хорошо и достаточно быстро".

Главное же преимущество их использования заключается в том, что они позволяют решать сложные задачи, для которых не разработаны пока устойчивые и приемлемые методы, особенно на этапе формализации и структурирования системы.

Генетические алгоритмы эффективны в комбинации с другими классическими алгоритмами и эвристическими процедурами.

Статические и динамические, дискретные и непрерывные модели

Классификацию моделей проводят по различным критериям.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез.

Пример. Закон Ньютона F=a*m - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример. Динамическая модель закона Ньютона будет иметь вид:

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример. Если рассматривать только t=0, 1, 2, …, 10 (сек), то модель

или числовая последовательность: S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени некоторого промежутка времени.

Пример. Модель S=gt2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Пример. Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, в количестве x1 и x2 единиц и стоимостью каждой единицы товара a1 и a2 на предприятии описана в виде соотношения:

a1x1 + a2x2 = S,

где S - общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (вида 1 и 2). Можно ее использовать в качестве имитационной модели, по которой можно определять (варьировать) общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов и стоимости производимых товаров.

Реальные физические объекты функционируют в непрерывном времени, и для изучения многих проблем физических систем их модели должны быть непрерывными . Состояние таких моделей изменяется непрерывно во време­ни. Это модели движения в реальных координатах, модели химического производства и т. п. Процессы движения объектов и процессы перекачки нефти в модели нефтеналивного порта являются непрерывными.

На более высоком уровне абстракции для многих систем адекватными яв­ляются модели, в которых переходы системы из одного состояния в другое можно считать мгновенными, происходящими в дискретные моменты вре­мени. Такие системы называются дискретными . Примером мгновенного пе­рехода является изменение числа клиентов банка или количества покупате­лей в магазине. Очевидно, что дискретные системы - это абстракция, процессы в природе не происходят мгновенно. В реальный магазин реаль­ный покупатель входит в течение некоторого времени, он может застрять в дверях, колеблясь, войти или нет, и всегда существует непрерывная после­довательность его положения во время прохождения дверей магазина. Одна­ко при построении модели магазина для оценки, например, средней длины очереди в кассу при заданном потоке покупателей и известных характери­стиках обслуживания кассиром клиентов можно абстрагироваться от этих второстепенных явлений и считать систему дискретной: результаты анализа полученной дискретной модели обычно достаточно точны для принятия обоснованных управленческих решений для подобных систем. В модели неф­теналивного порта мгновенными можно считать, например, переходы свето­форов на входе в гавань из состояния "запрещено" в состояние "разрешено". На еще более высоком уровне абстракции при анализе систем также ис­пользуются непрерывные модели, что характерно для системной динамики. Потоки машин на автострадах, потребительский спрос, распространение инфекции среди населения часто удобно описывать с помощью взаимозави­симостей непрерывных переменных, описывающих количества, интенсивно­сти изменения этих количеств, степени влияния одних количеств на другие. Соотношения таких переменных выражаются обычно дифференциальными уравнениями.

Во многих случаях в реальных системах присутствуют оба типа процессов, и если оба они являются существенными для анализа системы, то и в модели одни процессы должны представляться как непрерывные, другие - как дискретные. Такие модели со смешанным типом процессов называются гиб­ридными. Например, если при анализе функционирования магазина сущест­венным является не только количество покупателей, но и пространственное их положение и перемещение покупателей, то модель в этом случае должна представлять смесь непрерывных и дискретных процессов, т. е. это гибрид­ная модель. Другим примером может служить модель функционирования крупного банка. Поток инвестиций, получение и выдача кредитов в нор­мальном режиме описывается набором дифференциальных и алгебраических уравнений, т. е. модель является непрерывной. Однако существуют ситуа­ции, например дефолт (дискретное событие), в результате чего возникает паника у населения, и с этого момента система описывается совершенно другой непрерывной моделью. Модель данного процесса на том уровне аб­стракции, на котором мы хотим адекватно описать оба режима работы банка и переход между режимами, должна включать как описание непрерывных процессов, так и дискретные события, а также их взаимозависимости.

Пакет AnyLogic поддерживает описание как непрерывных, так и дискрет­ных процессов, а также строить гибридные модели.. AnyLogic позволяет реализовать модель, фактически, на любом уровне абстракции (детальности). Выполнение гибридных моде­лей в AnyLogic основано на современных результатах теории гибридных динамических систем.

Аннотация: Первая тема имеет вводный, в основном, терминологический характер. Подробно раскрываются понятия модели и моделирования, их назначение как основного, а подчас, и единственного метода анализа и синтеза сложных систем и процессов. Дается обзор классификации моделей и моделирования, в некоторой мере упрощенный, но достаточный для полного уяснения сущности моделирования как вообще, так и математического в частности.

Сам по себе процесс моделирования в полной мере не формализован, большая роль в этом принадлежит опыту инженера. Но, тем не менее, рассматриваемый в теме процесс создания модели в виде шести этапов может стать основой для начинающих и с накоплением опыта может быть индивидуализирован.

Математическая модель , являясь абстрактным образом моделируемого объекта или процесса, не может быть его полным аналогом. Достаточно сходства в тех элементах, которые определяют цель исследования. Для качественной оценки сходства вводится понятие адекватности модели объекту и, в связи с этим, раскрываются понятия изоморфизма и изофункционализма. Формальных приемов, позволяющих автоматически, "бездумно", создавать адекватные математические модели, нет. Окончательное суждение об адекватности модели дает практика, то есть сопоставление модели с действующим объектом. И, тем не менее, усвоение всех последующих тем пособия позволит инженеру справляться с проблемой обеспечения адекватности моделей.

Завершается тема изложением требований к моделям, которые были сформулированы Р. Шенноном на заре компьютерного моделирования тридцать лет назад в книге " Имитационное моделирование систем - искусство и наука". Актуальность этих требований сохраняется и в настоящее время.

1.1. Общее определение модели

Практика свидетельствует: самое лучшее средство для определения свойств объекта - натурный эксперимент , т. е. исследование свойств и поведения самого объекта в нужных условиях. Дело в том, что при проектировании невозможно учесть многие факторы, расчет ведется по усредненным справочным данным, используются новые, недостаточно проверенные элементы (прогресс нетерпелив!), меняются условия внешней среды и многое другое. Поэтому натурный эксперимент - необходимое звено исследования. Неточность расчетов компенсируется увеличением объема натурных экспериментов, созданием ряда опытных образцов и "доводкой" изделия до нужного состояния. Так поступали и поступают при создании, например, телевизора или радиостанции нового образца.

Однако во многих случаях натурный эксперимент невозможен.

Например, наиболее полную оценку новому виду вооружения и способам его применения может дать война. Но не будет ли это слишком поздно?

Натурный эксперимент с новой конструкцией самолета может вызвать гибель экипажа.

Натурное исследование нового лекарства опасно для жизни человека.

Натурный эксперимент с элементами космических станций также может вызвать гибель людей.

Время подготовки натурного эксперимента и проведение мероприятий по обеспечению безопасности часто значительно превосходят время самого эксперимента. Многие испытания, близкие к граничным условиям, могут протекать настолько бурно, что возможны аварии и разрушения части или всего объекта.

Из сказанного следует, что натурный эксперимент необходим, но в то же время невозможен либо нецелесообразен.

Выход из этого противоречия есть и называется он " моделирование ".

Моделирование - это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала.

Отсюда следует.

Моделирование - это, во-первых, процесс создания или отыскания в природе объекта, который в некотором смысле может заменить исследуемый объект . Этот промежуточный объект называется моделью . Модель может быть материальным объектом той же или иной природы по отношению к изучаемому объекту (оригиналу). Модель может быть мысленным объектом, воспроизводящим оригинал логическими построениями или математическими формулами и компьютерными программами.

Моделирование , во-вторых, это испытание , исследование модели. То есть, моделирование связано с экспериментом, отличающимся от натурного тем, что в процесс познания включается "промежуточное звено" - модель. Следовательно, модель является одновременно средством эксперимента и объектом эксперимента , заменяющим изучаемый объект .

Моделирование , в-третьих, это перенос полученных на модели сведений на оригинал или, иначе, приписывание свойств модели оригиналу. Чтобы такой перенос был оправдан, между моделью и оригиналом должно быть сходство, подобие .

Подобие может быть физическим, геометрическим, структурным, функциональным и т. д. Степень подобия может быть разной - от тождества во всех аспектах до сходства только в главном. Очевидно, модели не должны воспроизводить полностью все стороны изучаемых объектов. Достижение абсолютной одинаковости сводит моделирование к натурному эксперименту, о возможности или целесообразности которого было уже сказано.

Остановимся на основных целях моделирования .

Прогноз - оценка поведения системы при некотором сочетании ее управляемых и неуправляемых параметров. Прогноз - главная цель моделирования .

Объяснение и лучшее понимание объектов . Здесь чаще других встречаются задачи оптимизации и анализа чувствительности. Оптимизация - это точное определение такого сочетания факторов и их величин, при котором обеспечиваются наилучший показатель качества системы, наилучшее по какому-либо критерию достижение цели моделируемой системой. Анализ чувствительности - выявление из большого числа факторов тех, которые в наибольшей степени влияют на функционирование моделируемой системы. Исходными данными при этом являются результаты экспериментов с моделью.

Часто модель создается для применения в качестве средства обучения : модели-тренажеры, стенды, учения, деловые игры и т. п.

Моделирование как метод познания применялось человечеством - осознанно или интуитивно - всегда. На стенах древних храмов предков южно-американских индейцев обнаружены графические модели мироздания. Учение о моделировании возникло в средние века. Выдающаяся роль в этом принадлежит Леонардо да Винчи (1452-1519).

Гениальный полководец А. В. Суворов перед атакой крепости Измаил тренировал солдат на модели измаильской крепостной стены, построенной специально в тылу.

Наш знаменитый механик-самоучка И. П. Кулибин (1735-1818) создал модель одноарочного деревянного моста через р. Неву, а также ряд металлических моделей мостов. Они были полностью технически обоснованы и получили высокую оценку российскими академиками Л. Эйлером и Д. Бернулли. К сожалению, ни один из этих мостов не был построен.

Огромный вклад в укрепление обороноспособности нашей страны внесли работы по моделированию взрыва - генерал-инженер Н. Л. Кирпичев, моделированию в авиастроении - М. В. Келдыш, С. В. Ильюшин, А. Н. Туполев и др., моделированию ядерного взрыва - И. В. Курчатов, А.Д. Сахаров, Ю. Б. Харитон и др.

Широко известны работы Н. Н. Моисеева по моделированию систем управления. В частности, для проверки одного нового метода математического моделирования была создана математическая модель Синопского сражения - последнего сражения эпохи парусного флота. В 1833 году адмирал П. С. Нахимов разгромил главные силы турецкого флота. Моделирование на вычислительной машине показало, что Нахимов действовал практически безошибочно. Он настолько верно расставил свои корабли и нанес первый удар, что единственное спасение турок было отступление. Иного выхода у них не было. Они не отступили и были разгромлены.

Сложность и громоздкость технических объектов, которые могут изучаться методами моделирования, практически неограниченны. В последние годы все крупные сооружения исследовались на моделях - плотины, каналы, Братская и Красноярская ГЭС, системы дальних электропередач, образцы военных систем и др. объекты.

Поучительный пример недооценки моделирования - гибель английского броненосца "Кэптен" в 1870 году. В стремлении еще больше увеличить свое тогдашнее морское могущество и подкрепить империалистические устремления в Англии был разработан суперброненосец "Кэптен". В него было вложено все, что нужно для "верховной власти" на море: тяжелая артиллерия во вращающихся башнях, мощная бортовая броня, усиленное парусное оснащение и очень низкими бортами - для меньшей уязвимости от снарядов противника. Консультант инженер Рид построил математическую модель устойчивости "Кэптена" и показал, что даже при незначительном ветре и волнении ему грозит опрокидывание. Но лорды Адмиралтейства настояли на строительстве корабля. На первом же учении после спуска на воду налетевший шквал перевернул броненосец. Погибли 523 моряка. В Лондоне на стене одного из соборов прикреплена бронзовая плита, напоминающая об этом событии и, добавим мы, о тупоумии самоуверенных лордов Британского Адмиралтейства, пренебрегших результатами моделирования.

1.2. Классификация моделей и моделирования

Каждая модель создается для конкретной цели и, следовательно, уникальна. Однако наличие общих черт позволяет сгруппировать все их многообразие в отдельные классы, что облегчает их разработку и изучение. В теории рассматривается много признаков классификации, и их количество не установилось. Тем не менее, наиболее актуальны следующие признаки классификации :

• характер моделируемой стороны объекта;
• характер процессов, протекающих в объекте;
• способ реализации модели.

Предварительные замечания. Рассмотрим многомерную систему автоматического управления, где в качестве регулятора используется БЦВМ, связанная с непрерывным объектом с помощью ЦАП и АЦП (рис.1.4). Будем считать, что измеряемый векторный выход объектаквантуется с помощью АЦП в моментытак, что на входе БЦВМ действует векторная решётчатая функция. В БЦВМ реализуется определённый алгоритм управления и на её выходе формируется последовательность дискретных значений управляющих воздействий, которую также можно рассматривать как векторную решётчатую функцию. Здесь для простоты положим, что разрядность ЦАП и АЦП достаточно высока, так что эффектом квантования по уровню можно пренебречь.

Пусть непрерывный объект представляется дифференциальными уравнениями в форме Коши

(2.4.1)

где –числовые матрицы соответствующих размеров.

Будем считать, что ЦАП и АЦП работают синхронно (с одинаковым периодом), но не синфазно, и пусть выдача рассчитанных управлений производится с задержкой на, где–относительное запаздывание, так что на ЦАП поступает смещённая решётчатая функция. Таким образом, эквивалентная схема принимает вид рис.2.5.

Рис. 2.5.

Применение экстраполяции нулевого порядка. Пусть операция ЦА-преобразования сопровождается формированием управленияметодом фиксации на период (экстраполяция нулевого порядка). Тогда функциябудет кусочно-постоянной (рис.2.6), удовлетворяющей условию

Для определения дискретной модели объекта (2.4.1) при условии (2.4.2) рассмотрим -ый интервал дискретности.

Рис. 2.6.

Преобразуем это выражение, используя для первого интеграла замену , а для второго –. Тогда после преобразований и перехода к решётчатым функциям получим

Обозначим

и учтём, что квантование выхода производится в моменты. Тогда окончательно, искомая дискретная модель примет вид

. (2.4.4)

Анализируя формулы (2.4.3), заметим, что матрицы изависят от величины запаздывания. Так, если(запаздывание отсутствует), тои мы получим дискретную модель непрерывного объекта без запаздывания. Если же, то, и тогда уравнения (2.4.4) будут представлять дискретную модель с "чистым" запаздыванием на один такт.

Отметим также, что при разностные уравнения (2.4.4) формально не являются уравнениями в форме Коши, так как в правой части первого уравнения присутствует переменная, сдвинутая на один такт по отношению к другим. Для устранения этого "недостатка" введем вектор дополнительных состояний , . Тогда нетрудно показать, что расширенная дискретная модель с вектором состояний , представится в следующем эквивалентном виде

(2.4.5)

где - новый вектор измеряемых переменных объекта, расширенных за счет управлений из предыдущего такта.

Таким образом наличие запаздывания привело к увеличению размерности дискретной модели по сравнению с размерностью непрерывного объекта. Это позволяет учесть запаздывание при синтезе алгоритмов работы БЦВМ (дискретных регуляторов), так как формально уравнения (2.4.5) представляют дискретную модель объекта без запаздывания, но повышенной размерности.

Применение экстраполяторов -го порядка. При рассмотрении этого вопроса для простоты ограничимся случаем . Кроме того, также для простоты, будем считать, что управлениеявляется скалярным (). Тогда, если для реализации этого управления используется метод экстраполяции-го порядка, то на интервалеуправлениебудет определяться выражением (1.4.10), то есть

, (2.4.6)

где производные () могут быть вычислены по дискретам,в соответствии с алгоритмом (1.4.16).

Переходя к определению дискретной модели непрерывного объекта (2.4.1) запишем состояние этого объекта в конце-го интервала дискретности по известному состояниюв начале интервала. Используя формулу Коши, будем иметь

.

Подставляя (2.4.6) и производя замену , после преобразований и перехода к решетчатым функциям, получим

Здесь учтено, что значения производных остаются постоянными в течение каждого интервала дискретности. Обозначим

,,.

Тогда (2.4.7) примет вид

.

Введем матрицу . Тогда, если использовать обозначение (1.4.12) для вектора, получим

где - определяется выражением (1.4.14), а- обозначает-мерный вектор (1.4.12), составленный из дискрет.

Обозначим столбцы матрицы через. Тогда учитывая структуру вектора, окончательно получим искомую дискретную модель

. (2.4.9)

Заметим, что несмотря на то, что по предположению управляющее воздействие формируется без задержки по отношению к моментам съема информации, дискретная модель (2.4.9) содержит запаздывания по управлению натактов одновременно. Как уже отмечалось в разделе 1.4, этот факт обусловлен использованием для формирования управленияэкстраполяции-го порядка.

Запишем полученную модель в эквивалентной форме с помощью расширенного состояния. Для этого введем вспомогательные переменные

Очевидно, что в этом случае

Тогда, если ввести вектор расширенного состояния

а также новый вектор измеряемых переменных

расширенный за счет управлений из предыдущих тактов, то (2.4.9) можно представить в следующем эквивалентном виде

, (2.4.10)

где ,,- матрицы размеров,,соответственно, имеющие следующую блочную структуру

, ,. (2.4.11)

Уравнения (2.4.10) представляют дискретную модель непрерывного объекта в системе управления с БЦВМ и экстраполятором -го порядка. Эта модель составлена для скалярного управления, и учет экстраполятора привел к тому, что ее размерность увеличилась напо сравнению с размерностью непрерывного объекта. Очевидно, что если рассматривать случай векторного управления, то формально дискретная модель (2.4.10) останется без изменения, но вводимые дополнительные переменныестанут векторными и общая размерность модели составит.